Vxmodel

热浪-寒流气候网络

标准的Vxmodel

HWN作为控制参数$k$$k$

扩展的Vxmodel

3维气候系统

定义三个状态变量：

• $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$：海表温度异常；

• $\mathrm{\Delta }{T}_{ENSO}=\frac{d{T}_{ENSO}}{dt}$$\Delta T_{ENSO} = \frac{dT_{ENSO}}{dt}$：海表温度的变化率；

• $h$$h$：赤道太平洋上层海洋热含量异常。

包含WWV的 vxmodel 模型为：

或：

其中：

• $a$$a$：描述 $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$ 的非线性恢复系数；

• $b$$b$：描述 $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$ 的线性恢复系数；

• $c$$c$：描述 $\mathrm{\Delta }{T}_{ENSO}$$\Delta T_{ENSO}$ 的阻尼系数；

• $d$$d$：热含量 $h$$h$ 对海表温度 $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$ 的影响系数；

• $\lambda$$\lambda$：热含量 $h$$h$ 的恢复系数；

• $\delta$$\delta$：海表温度 $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$ 对热含量 $h$$h$ 的影响系数；

• $k(t)$$k(t)$：外部强迫项（如风应力异常，噪声）。

特征矩阵为：

目标矩阵为

11维扩展气候系统

我们从原始的 3 维 ENSO 系统扩展到包含 8 个额外气候模式的 11 维系统，同时考虑：

1. $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$ 和其他 8 个气候模式的耦合。

2. 其他 8 个气候模式对海洋热含量 $h$$h$ 的耦合。

1. ENSO 模式温度变化

2. 海洋热含量变化

3. ENSO 模式导数变化

4. 其他 8 个气候模式动力学方程

对于 $T_i$$T_i$ ($i=1,\dots ,8$$i = 1, \dots, 8$)，动力学方程为：

• $-{\alpha }_i{T}_i$$-\alpha_i T_i$：模式 $T_i$$T_i$ 的自阻尼项。

• $\sum _{j\ne i}{\gamma }_{ij}{T}_j$$\sum_{j \neq i} \gamma_{ij} T_j$：其他气候模式对 $T_i$$T_i$ 的耦合作用。

• ${\eta }_i{T}_{ENSO}$$\eta_i T_{ENSO}$：ENSO 对 $T_i$$T_i$ 的影响。

• ${\kappa }_{i}h$$\kappa_i h$：海洋热含量对 $T_i$$T_i$ 的影响。

定义状态向量 $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$：

动力学方程可以写成：

5. 系统矩阵 $\mathbf{A}$$\mathbf{A}$

将 $\mathbf{A}$$\mathbf{A}$ 分块为：

(1) ENSO 和 $h$$h$ 的子矩阵 ${\mathbf{A}}_{ENSO}$$\mathbf{A}_{ENSO}$

• 第一行表示 $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$ 的变化，仅与 $\mathrm{\Delta }{T}_{ENSO}$$\Delta T_{ENSO}$ 相关。

• 第二行表示 $h$$h$ 的变化，与 $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$ 和 8 个气候模式耦合。

• 第三行表示 $\mathrm{\Delta }{T}_{ENSO}$$\Delta T_{ENSO}$ 的变化，与 $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$、$h$$h$ 和 8 个气候模式耦合。

(2) ENSO 和其他模式的耦合矩阵 ${\mathbf{A}}_{ENSO-T}$$\mathbf{A}_{ENSO-T}$

• ${\beta }_i$$\beta_i$ 是模式 $T_i$$T_i$ 对 $h$$h$ 的贡献。

• ${\zeta }_i$$\zeta_i$ 是模式 $T_i$$T_i$ 对 $\mathrm{\Delta }{T}_{ENSO}$$\Delta T_{ENSO}$ 的贡献。

(3) 其他模式和 ENSO、$h$$h$ 的耦合矩阵 ${\mathbf{A}}_{T-ENSO}$$\mathbf{A}_{T-ENSO}$

• ${\eta }_i$$\eta_i$ 表示 $T_{ENSO}$$T_{ENSO}$ 对模式 $T_i$$T_i$ 的影响。

• ${\kappa }_i$$\kappa_i$ 表示海洋热含量 $h$$h$ 对模式 $T_i$$T_i$ 的影响。

(4) 其他模式之间的耦合矩阵 ${\mathbf{A}}_T$$\mathbf{A}_T$

• 对角线元素 $-{\alpha }_i$$-\alpha_i$ 是每个模式的自阻尼项。

• 非对角线元素 ${\gamma }_{ij}$$\gamma_{ij}$ 是模式 $T_j$$T_j$ 对模式 $T_i$$T_i$ 的耦合强度。

6. 外部强迫矩阵 $\mathbf{B}$$\mathbf{B}$

外部强迫项 $k(t)$$k(t)$ 仅作用于 $\mathrm{\Delta }{T}_{ENSO}$$\Delta T_{ENSO}$，因此 $\mathbf{B}$$\mathbf{B}$ 矩阵为：

完整的 11 维动力学系统可以写为：

• ${\mathbf{A}}_{ENSO}$$\mathbf{A}_{ENSO}$ 描述了 ENSO 模式和海洋热含量之间的关系。

• ${\mathbf{A}}_{ENSO-T}$$\mathbf{A}_{ENSO-T}$ 描述了 ENSO 和其他气候模式之间的耦合。

• ${\mathbf{A}}_{T-ENSO}$$\mathbf{A}_{T-ENSO}$ 描述了其他气候模式与 ENSO 和海洋热含量的耦合。

• ${\mathbf{A}}_T$$\mathbf{A}_T$ 描述了其他 8 个气候模式间的相互耦合。

通过这种分块形式，可以清晰地分析系统中不同模式之间的耦合关系，并方便进行数值模拟和稳定性分析。

7.预测效果